Mäsktemperatur, utjäsning och linjär regression

För några år sedan deltog jag i någon slags forumdiskussion angående vad som styr utjäsningen hos ett öl. Det var "the usual suspects" som räknades upp; mäsktemperatur, jästsort, extraktsammansättning samt jästmängd och jästens status. Någon hävdade tvärsäkert att mäsktemperaturen inte spelade någon roll, och jag hävdade minst lika tvärsäkert att det gjorde den visst det. Efteråt började jag rannsaka mig själv och ifågasätta hur väl jag visste detta egentligen. Så såddes fröet till detta inlägg som jag har haft i bakhuvudet ett tag nu.

Lyckligtvis har jag samlat viktiga data för nästan alla mina bryggningar. Från mina allra första bryggningar saknas mäsktemperaturen, men i övrigt har jag sparat OG, FG, IBU, mäsktemperatur, jästemperatur och jästsort. Jag har även sparat de flesta recepten, men inte riktigt alla. Sedan jag började blogga finns dock alla relevanta data sparade.

Med hjälp av dessa data kan man försöka sig på att skatta mäsktemperaturens inverkan på utjäsningen med hjälp av matematiska metoder. I det civila är jag nämligen matematiker och jobbar med diverse industriella matematiska tillämpningar på någon slags konsultbasis här. Detta ger ytterligare incitament åt att skriva det här inlägget då jag slår två flugor i en smäll och kan ägna mig åt lite folkbildning kring matematik och hur det kan användas.

Den matematiska metod som ligger närmast till hands är linjär regression, vilket innebär att man antar ett linjärt samband mellan de ingående variablerna plus ett slumpmässig "brus" eller "fel",

AA = c0 + cMT*MT + e.

Denna modell består av:

• Mätvärden (variabler)
• Med AA betecknas den skenbara utjäsningen i %
• Med MT betecknas mäsktemperaturen i Celsius
• Modellparametrar
• c0 är en konstant term (anger formellt utjäsningen vid 0 C vilket knappast är en relevant tolkning då modellen inte är avsedd för dyliky temperaturer)
• cMT är en konstant som anger hur många procentenheter utjäsningen förändras när man höjer mäsktemperaturen en grad, vilket jag fortsättningsvis kommer benämna (utjäsningens) mäsktemperaturkänslighet
• Det slumpmässiga felet som betecknas med e.

Notera att denna modell alltid är korrekt för varje val av parametrarna c0 och cMT om man inte ställer några (statistiska) krav på felet e, exempelvis oberoende mellan observationer, väntevärde noll och kanske till och med normalfördelning. Att i praktiken verifiera modellens validitet kan vara ganska knepigt, betydligt svårare än att skatta modellparametrarna. Ofta är det mest användbart med en visuell kontroll av modellens rimlighet, även om en egenskap såsom normalfördelade fel kan verifieras med systematiska kvantitativa metoder.

För en viss uppsättning av värden på modellparametrarna får man alltså ett fel för varje mätpunkt (d.v.s. varje brygd). Vid linjär regression söker man minimera summan av kvadraten på alla dessa fel. Vi ska inte gräva ner oss i hur det går till, utan nöja oss med att påpeka att det är en relativt enkelt beräkning.

När jag kör en vanlig linjär regression på cirka 60 datapunkter får jag cMT = -1,5 vilket alltså innebär att en höjning av mäsktemperaturen med två grader ger tre procentenheter sämre skenbar utjäsning. Resultatet visas i figuren nedan och för ögat ser det ut som att det finns en tydlig linjär trend om än med ganska stora avvikelser (felet e har en skattad standardavvikelse på cirka 4 procentenheter).

Linjär regression av mäsktemperatur vs. skenbar utjäsning

Problemet med denna första enkla modell är att den bara innehåller en enda faktor som påverkar utjäsningen, medan det som sagt finns flera potentiella faktorer. Visserligen kan de övriga fakorerna anses vara inbakade i felet e,  men det kan ändå leda till ett missvisande värde på mäsktempraturkänsligheten cMT. Skälet till det är att de olika faktorerna kan samverka. När man brygger en öl där man önskar hög utjäsning använder man oftast inte enbart mäsktemperaturen som ett verktyg för att uppnå detta, utan man kombinerar kanske låg mäsktemperatur med en väl utjäsande jäststam samt eventuellt en smula socker i extraktschemat. Omvänt kan hög mäsktemperatur kompletteras med specialmalt och en lämplig jäststam om man vill ha låg utjäsning. Därför utökar jag modellen ovan till

AA = c0 + CMT*MT + cEA*EA + cSM*SM + cSK*SK + cGN*GN + e.

Utöver de tidigare variablerna har vi nu (med åtföljande konstanter)

• EA, skattad utjäsning för den valda jäststammen enligt tillverkaren
• SM, mängden (%) specialmalt (karamellmalt och rostad malt)
• SK, mängden (%) socker
• GN, jästgenerationen där jag enbart tog med bryggningar med första och andra generationen, därutöver finns det knappast något linjärt samband

Med denna utökade modell fås följande värden

• cEA = 0,3
• cMT = -1,1
• cSM = -0,2
• cSK = 0,3
• cGN = 2,5

Den första siffran är ganska förvånande eftersom den indikerar att välja en jäststam med en procenhets högre utjäsning endast i genomsnitt ger en knapp tredjedels procentenhet i praktiken. Hur jag ska tolka detta vet jag inte riktigt, med det kan förstås vara en indikation på att den linjära modellen inte är helt korrekt.

Mäsktemperaturkänsligheten har mycket riktigt sjunkit när vi har tagit hänsyn till fler - och samverkande - faktorer. Nu indikerar den att varje grads ökning av mäsktemperaturen ger en dryg procentenhet lägre skenbar utjäsning. För ett normalstarkt öl (OG 1050) innebär detta att två graders ökning av mäsktemperaturen höjer FG med en dryg punkt, vilket är en ganska måttlig effekt.

De två följande parametrarna innebär att 10 % specialmalt respektive socker förändrar utjäsningen med två respektive tre procentenheter. Och den sistnämnda parametern slutligen innebär att man (eller jag) i snitt ökar den skenbara utjäsningen med 2,5 procentenheter genom att använda andra generationens jäst.

Det finns förstås andra som har studerat den här frågan. Vid en sökning får jag upp följande bloggpost. Här ser man en tydlig icke-linjär trend, framförallt när man tar med extremt höga och låga temperaturer, och författaren har valt att skatta en andragradskurva för sambandet mellan mäsktemperatur och utjäsning. Därmed har man även inbakat i modellen att en höjning av mäsktemperaturen ger olika effekt för olika utgångstemperaturer. Dock sammanfattar författaren sina resultat med att man inom det relevanta intervallet 65-70 C som tumregel kan ange att en grads ökad temperatur ger två procentenheter lägre utjäsning. Jag tycker dock den slutsatsen ser lite suspekt ut när man tittar på hans data, och i synnerhet de mer tillfärlitliga mätningarna från Wyeast och Braukeiser. Jag skulle snarare vilja lägga mig på ungefär -1,5 procentenheter per grad som mäsktemperaturkänslighet.

Så vi hamnar väl någonstans mellan -1,1 och -1,5 procentenheter i mäsktemperaturkänslighet, med betoning på den senare siffran då den är baserad på mer noggranna mätningar. Det finns egentligen mycket mer att säga om modellens korrekthet och resultatens tillförlitlighet, men jag känner att det får räcka för denna gången. Eventuellt får jag återkomma med en uppföljning, men jag hoppas att läsaren fick en liten inblick i hur matematik kan användas på ett konkret problem, och vilka problem och utmaningar man möter med modellval och osäkra mätningar.

Uppdatering (26/11 2013):

På Beersmiths forum hittar jag en snubbe som verkar ha gjort något liknande och fått dessa värden:

• cEA = 0,8
• cMT = -1,4
• cSM = -0,4
• cSK = 0,5

Ganska så lika siffror, åtminstone i samma härad. Undantaget är möjligen den första siffran som känns lite mer realistisk än min egen. Han verkar också ha mindre fel, så man ska nog ha lite mer tilltro tills hans siffror än mina. Han har dessutom undersökt mäsktjocklekens och mäsktidens inverkan och kommit fram till följande:

• En förlängning av mäsktiden med 50 minuter ger en extra procents utjäsning
• En ökning av mängden mäskvatten med 1 liter per kilogram malt ger en ökning av utjäsningen med 0,8 procentenheter